UNIDAD 3
NÚMEROS REALES
Los números reales (ℝ) incluye tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales y algebraicos. Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal .
Conjuntos numéricos
Los números naturales
Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).
El conjunto de los números naturales está formado por:
N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}
La suma y el producto de dos números naturales es otro número natural.
La diferencia de dos números naturales no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando el minuendo es mayor que sustraendo.
5 − 3
3 − 5
Podemos utilizar potencias, ya que es la forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales.
Los números enteros
Los números enteros son del tipo:
= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}
Nos permiten expresar: el dinero adeudado, la temperatura bajo cero, las profundidades con respecto al nivel del mar, etc.
La suma, la diferencia y el producto de dos números enteros es otro número entero.
El cociente de dos números enteros no siempre es un número entero , sólo ocurre cuando la división es exacta.
6 : 2
2 : 6
Los números racionales
Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero.
Los números decimales (decimal exacto, periódico puro y periódico mixto) son números racionales; pero los números decimales ilimitados no.
La suma, la diferencia , el producto y el cociente de dos números racionales es otro número racional.
Operaciones entre números reales
Los números reales son casi todos los números que podemos escribir o conocer.
Según esto, en los reales se incluyen:
Los números racionales (Q)
Los números naturales (N)
Los números enteros Z)
Los números irracionales (I)
Los números racionales
son aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica.
Los números naturales
es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de ciertos conjuntos, como también en operaciones elementales de cálculo.Según esto, en los reales se incluyen:
Los números racionales (Q)
Los números naturales (N)
Los números enteros Z)
Los números irracionales (I)
Los números racionales
son aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica.
Los números naturales
Los números enteros
es un elemento del conjunto numérico que contiene los números naturales , sus inversos aditivos y el cero.
Los números irracionales
es un número que no se puede escribir en fracción - el decimal sigue para siempre sin repetirse.
Relación de orden
En matemática y en lógica matemática, especialmente en teoría del orden y álgebra abstracta, una relación de orden es una relación binaria que pretende formalizar la idea intuitiva de ordenación de los elementos de un conjunto.
Definición
Tipos de ecuaciones
Las ecuaciones suelen clasificarse según el tipo de operaciones necesarias para definirlas y según el conjunto de números sobre el que se busca la solución. Entre los tipos más comunes están:
Ecuaciones algebraicas
De primer grado o lineales
De segundo grado o cuadráticas
De tercer grado o cúbicas
Diofánticas o diofantinas
Racionales, aquellas en las que uno o ambos miembros se expresan como un cociente de polinomios
Ecuaciones trascendentes, cuando involucran funciones no polinómicas, como las funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, etc.
Ecuaciones diferenciales
Ordinarias
En derivadas parciales
Ecuaciones integrales
Ecuaciones funcionales
Sea un conjunto dado no vacío y una relación binaria definida en , entonces se dice que es una relación de orden1 si cumple las siguientes propiedades:
- Reflexividad: Todo elemento de está relacionado consigo mismo. Es decir, .
- Antisimetría: Si dos elementos de se relacionan entre sí, entonces ellos son iguales. Es decir,
- Transitividad: Si un elemento de está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir,
- Una relación de orden sobre un conjunto puede denotarse con el par ordenado .
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Una expresión algebraica es una expresión en la que se relacionan valores indeterminados con constantes y cifras, todas ellas ligadas por un número finito de operaciones de suma, resta, producto, cociente, potencia y raíz.
•Ejemplos
Expresiones Algebraicas comunes
El doble o duplo de un número: 2x
El triple de un número: 3x
El cuádruplo de un número: 4x
La mitad de un número: x/2
Un tercio de un número: x/3
Un cuarto de un número: x/4
Un número es proporcional a 2, 3, 4...: 2x, 3x, 4x...
Un número al cuadrado: x²
Un número al cubo: x³
Un número par: 2x
Un número impar: 2x + 1
Dos números consecutivos: x y x + 1
Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2
Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3
Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x
La suma de dos números es 24: x y 24 − x
La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x
El producto de dos números es 24: x y 24/x
El cociente de dos números es 24: x y 24 · x
Tipos de Expresiones Algebraicas
RAZONES Y PROPORCIÓN
Una razón es una comparación entre dos o más cantidades. Puede expresarse mediante una fracción. Si las cantidades a comparar son a y b, la razón entre ellas se escribe como:
Ejemplo:
En una sala de clases hay 10 mujeres y 18 hombres. ¿Qué relación numérica existe entre el número de mujeres y el número de hombres?
La relación entre el número de mujeres y el número de hombres es de "10 es a 18" , otra forma de leerlo es "10 de 18 "
El término a es el antecedente de la razón y el b, el consecuente.
El resultado de la división o cociente entre el antecedente y el consecuente se denomina valor de la razón
Dos o más razones son equivalentes cuando tienen igual valor.
Resolución de problemas:
Veamos cómo resolver problemas de razones:
Ejemplo 1:
VALOR ABSOLUTO
En matemáticas, el valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-).
El valor absoluto se define en cualquiera de los sistemas numéricos, de los números enteros, racionales, reales como:
- |a| = a si a ≥ 0;
- |a| = -a en otro caso; para un elemento a de los sistemas numéricos indicados
- es igual al máximo de {a, -a}.
Si es un número real, su valor absoluto es un número real no negativo definido de las dos siguientes maneras:
ECUACIONES
Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones, denominadas miembros y separadas por el signo igual, en las que aparecen elementos conocidos o datos, desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; también variables o incluso objetos complejos como funciones o vectores, los elementos desconocidos pueden ser establecidos mediante otras ecuaciones de un sistema, o algún otro procedimiento de resolución de ecuaciones.
Por ejemplo, en la ecuación algebraica simple:
Tipos de ecuaciones
Las ecuaciones suelen clasificarse según el tipo de operaciones necesarias para definirlas y según el conjunto de números sobre el que se busca la solución. Entre los tipos más comunes están:
Ecuaciones algebraicas
De primer grado o lineales
De segundo grado o cuadráticas
De tercer grado o cúbicas
Diofánticas o diofantinas
Racionales, aquellas en las que uno o ambos miembros se expresan como un cociente de polinomios
Ecuaciones trascendentes, cuando involucran funciones no polinómicas, como las funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, etc.
Ecuaciones diferenciales
Ordinarias
En derivadas parciales
Ecuaciones integrales
Ecuaciones funcionales
IN ECUACIONES
Una in ecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos:
| < | menor que | 2x − 1 < 7 |
| ≤ | menor o igual que | 2x − 1 ≤ 7 |
| > | mayor que | 2x − 1 > 7 |
| ≥ | mayor o igual que | 2x − 1 ≥ 7 |
La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que verifica la inecuacíón.
Podemos expresar la solución de la inecuación mediante:
1. Una representación gráfica.
2. Un intervalo.
Ejemplo
1. 2x − 1 < 7
2x < 8 x < 4
(-∞, 4)
SUCESIONES
es una aplicación cuyo dominio es el conjunto de los números naturales y su codominio es cualquier otro conjunto, generalmente de números, figuras geométricas o funciones. Cada uno de ellos es denominado término (también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión. No debe confundirse con una serie matemática, que es la suma de los términos de una sucesión.
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