unidad 1

lógica matemática

es parte tanto de la lógica y como de la matemática, y consiste en el estudio matemático de la lógica, y en la aplicación de dicho estudio a otras áreas de la matemática y de las ciencias. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la computación y con la lógica filosófica.

proposiciones

¡Una proposición es una unidad semántica que, o sólo es verdadera o sólo es falsa.La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática; generalmente se las expresa en oraciones declarativas o aseverativas, tales como:

Oraciones afirmativas. (Informan). 

  Ej.: Mañana es lunes.

Oraciones descriptivas. (Describen). 

Ej.: La tiza es blanca

Oraciones explicativas. (Explican). 

Ej.: Si hace frío entonces es invierno

Oraciones que son proposiciones

5 es un número primo.

- 17 + 38 = 21.

VALOR DE VERDAD

es la cualidad de veracidad que describe adecuadamente la proposición. Este puede ser verdadero o falso.Ejemplo: 

-17+38=21

Tabla de verdad 

Una tabla de verdad es una representación de los posibles valores de verdad que podría

tomar una proposición. Las tablas de verdad sirven para mostrar los valores, las relaciones 

y los resultados posibles al realizar operaciones lógicas .

operadores lógicos

Elementos que sirven de enlace o nexos entre las proposiciones.

Ejemplos:

• “Hoy hace sol  y  estoy cansado”.
• No te encontré en tu casa.
• Si me gano una loteria ,entonces me compro una casa.
• Te llevaré al cine si y solo si te portas bien

NEGACIÓN 

Este operador cambia el valor de verdad de una proposición: si a es una proposición verdadera, a es falsa; si a es una proposición falsa, a es verdadera.
La negación se presenta con los términos gramaticales:
no
ni
no es verdad que
no es cierto que

Tabla de verdad de la negación

Sea a una proposición, la negación de a, representa da simbólica mente por a, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad.

Ejemplo Negación de Proposiciones

P = Está lloviendo. ~P = NO está lloviendo.
Si es verdad que está lloviendo, entonces la afirmación No está lloviendo es falsa.
~P = NO está lloviendo. ~ (~P) = NO (NO está lloviendo) = Está lloviendo = P
Si no es verdad que no está lloviendo, entonces la negación puede leerse como No es cierto que No está lloviendo, que es lo mismo que decir Está lloviendo.
CONJUNCIÓN (^)
La conjunción se presenta con los términos gramaticales: “y”, “pero”, “más”, “también”, “sin embargo”, “además”, Signos de puntuación como: la coma, el punto, y el punto y coma.

Tabla de verdad de la Conjunción

REGLA.- La conjunción será verdadera solamente cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es verdadero.

Ejemplo: Conjunción de Proposiciones

La puerta está vieja y oxidada.

Hace frío y está nevando.

Está lloviendo y es de noche.

Tiene gasolina y tiene corriente.

DISYUNCIÓN (V)

La Disyunción se presenta con el término gramatical «o».

Tabla de verdad de la Disyunción

REGLA.- La Disyunción será falsa solamente cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es falso.

Ejemplo: Disyunción de Proposiciones

Está lloviendo o es de noche.

Está feliz o está enojado.

Está caminando o está lloviendo.

Hay derivadas o hay integrales.

CONDICIONAL

Viene a ser la combinación de dos proposiciones con “si… entonces”. Se lee si p entonces q.

Tabla de verdad de la Condicional

REGLA.- Una proposición condicional es falsa cuando la primera proposición es verdadera y la segunda es falsa. Es verdadera en cualquiera de las otras formas
Ejemplo: 
Condicional de Proposiciones

1.Me alegraría mucho, si me acompañaras.

2.Si quieres, paso por ti a las seis.

3.Te llevaré al baile; si me prometes ser puntual.

4.Si pones atención, aprenderás más pronto.

5.Podría llevar dos materias, si asisto por las tardes.

CONDICIÓN

1. si me acompañaras

2. si quieres

3. si me prometes ser puntual

4. si pones atención

5. si asisto por las tardes

BICONDICIONAL

Es la unión de dos proposiciones por “si y sólo si”. Se lee a si y sólo si b.
Términos gramaticales: «a si y sólo b», «a si y solamente b», «a implica b y b implica a».

Tabla de verdad de la Bicondicional

REGLA.- Una proposición bicondicional es verdadera cuando, o sus dos componentes son verdaderos o sus dos componentes son falsos.

Ejemplo: Bicondicional de Proposiciones

(a) Verdad o falsa? "1+1 = 3 si y solo si Marte es un agujero negro."

(a) Verdadera. La proposición dada tiene la forma p↔q, dónde p: "1+1=3" y q: "Marte es un agujero negro." 



CLASES DE PROPOSICIONES

PROPOSICIÓN SIMPLE

Son aquellas que no poseen operador lógico. Es decir que no se pueden dividir en otras proposiciones.

Ejemplo:

a:  Todo organismo viviente se adapta a su

    medio físico.

b:  Si un número es divisible por 4 también

     lo es por 2

PROPOSICIÓN COMPUESTA

Son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples unidas por operadores lógicos

Ejemplos:

   p:  La niña María canta y su hermano Luis

       toca el piano.

   q:  Ecuador es un país Amazónico y

       latinoamericano.

propiedades de las operaciones lógicas

Vamos a examinar las propiedades que tienen las operaciones lógicas antes definidas, para ello consideramos que p, q y r son tres proposiciones cualesquiera. Entonces tenemos los siguiente:

1) Idempotencia 
p˄p ≡ p
p˅p ≡p


2) Asociatividad 

(p˄q)˄r ≡ p˄(q˄r)
(p˅q)˅r ≡ p˅(q˅r)

3) Conmutatividad 
p˄q ≡ q˄p
p˅q ≡ q˅p

4) Distributividad 

p˄(q˅r) ≡ (p˄q)˅(p˄r)
p˅(q˄r) ≡ (p˅q)˄(p˅r)

5) Identidad 

p˄(F) ≡ (F)
p˅(F) ≡ p
p˄(V) ≡ p
p˅(V) ≡ (V)

6) Complemento 
p˄(~p) ≡ (F)
p˅(~p) ≡ (V)
~(~p) ≡ p
~(V) ≡ (F)
~(F) ≡ (V)

7) Condicionantes 

(p → q) ≡ (~p ˅ q)
(p → q) ≡ (~q → ~p)
(p ↔ q) ≡ (p → q) ˄ (q → p)
(p ↔ q) ≡ (~p ˅ q) ˄ (~q ˅ p)

8) De Morgan
~(p ˅ q) ≡ (~p ˄ ~q)
~(p ˄ q) ≡ (~p ˅ ~q)
~(p → q) ≡ (p ˄ ~q)
~(p ↔ q) ≡ (~p ↔ ~q)

Con la ayuda de estas propiedades podemos simplificar proposiciones compuestas o hallar su valor de verdad

Ejemplo

(p ˄ q) → [(~p ˅ q) ˄ (~q ˅ p)]
~(p ˄ q) ˅ [(~p ˅ q) ˄ (~q ˅ p)] condicionante
(~p ˅ ~q) ˅ [(~p ˅ q) ˄ (~q ˅ p)] De Morgan
[(~p ˅ ~q)˅(~p ˅ q)] ˄ [(~p ˅ ~q) ˅ (~q ˅ p)] distributividad
[(~p ˅ ~p)˅(q ˅ ~q)] ˄ [(~p ˅ p) ˅ (~q ˅ ~q)] conmutatividad, asociatividad
[~p ˅ (v)] ˄ [(v) ˅~q] idempotencia, complemento
(v) ˄ (v) identidad
(v) identidad

Como la proposición se simplifica al valor de verdad (V), ésta es una tautología.
Es decir la proposición compuesta es equivalente a una proposición más simple que resulta de la simplificación de la primera.

razonamiento

Debes recordar que para resolver problemas de razonamiento lógico matemático no requieres muchos conocimientos de matemática, la mayor parte de los problemas se resuelven utilizando matemática elemental (suma, resta, multiplicación, división, y nada más...), pero eso si, debes aplicar mucho ingenio al momento de plantear la solución.

Ejercicio 

Se tiene 12 barras de chocolate, de las cuales 4 están enumeradas con el número 6; 4 con el número  5 y 4 con el número 1. Se distribuye las 12 barras en tres bolsas, A, B y C con igual número de barras. Si la suma de los números de la bolsa A es igual a 19, la de B es igual a 17 y la de C es igual a 12,  entonces es cierto que la bolsa C tiene: 

A) Tres barras con el número 1.

B) Dos barras con el número 6.
C) Dos barras con el número 1.                   

D) Ninguna barra con el número 5.

E) Una barra con el número 6.

demostraciones

una demostración o bien una prueba es un argumento deductivo para asegurar la verdad de una proposición matemática. En la argumentación se pueden usar otras afirmaciones previamente establecidas, tales como teoremas o bien las afirmaciones iniciales o axiomas. En principio una demostración se puede rastrear hasta afirmaciones generalmente aceptadas, conocidas como axiomas. Las demostraciones son ejemplos de razonamiento deductivo y se distinguen de argumentos inductivoso .